Расчет регрессионных показателей Бета и Альфа для российского рынка акций

 

1.Линейная регрессия рынка акций по Шарпу

В 1960-х годах Уильям Шарп первым провел регрессионный анализ рынка акций США и ввел такие популярные сегодня характеристики рынка как Бета () и Альфа (). В общем случае модель, предложенную Шарпом, можно описать следующим уравнением:

          (1.1)

Здесь  - доходность конкретной бумаги, F – некоторый факторный признак,  - некоторая случайная величина с нулевым математическим ожиданием. В дальнейшем для оценки ошибок модели предполагается, что  нормально распределена.

В своей модели в качестве факторного признака Шарп выбрал доходность рыночного индекса , отражающую движение рынка в целом. Перепишем (1.1) в следующем виде

       (1.2)

(1.2) является простым уравнением линейной парной регрессии. Его нетрудно решить, например, методом наименьших квадратов. Рассмотрим функционал

   (1.3)

Здесь и  - значение соответствующей доходности в момент времени . Найдем  и , при которых функционал (1.3) достигает минимума. Для этого частные производные приравняем к нулю:

     (1.4a)

   (1.4b)

Из системы уравнений (1.4) получаем

      (1.5а)

         (1.5b)

Здесь N – количество точек, D() – дисперсия соответствующего признака, cov() -ковариация.

Коэффициент определяет чувствительность данной бумаги к изменению рынка. Если >1, то бумага изменятся быстрее, чем рыночный индекс, и соответственно она является более рискованной, чем рынок в среднем. Если отрицательная величина, то движение бумаги обратно движению рынка.

Коэффициент  часто называют “cдвигом”. Этот коэффициент определяет независимую от движения рынка составляющую цены бумаги.

Коэффициент корреляции r (или просто корреляция) по определению:

     (1.6)

Коэффициент детерминации, или R-squared, равен квадрату коэффициента корреляции.

Этот параметр не превышает по модулю единицу и определяет, на сколько доходность данной бумаги коррелирует с доходностью рынка.

 

2.Оценка ошибок показателей

Для оценки ошибки регрессионной прямой можно использовать функционал (1.3). Математическое ожидание (или средняя величина) этого функционала представляет собой средний квадрат отклонения значений доходности бумаги от регрессионной прямой. Величина  стандартного отклонения случайной ошибки  может быть представлена как

           (2.1)

Здесь  - функционал (1.3) при оптимальных значениях  и . В качестве количества степеней свободы возьмем , поскольку показатели регрессии определяются системой из двух уравнений (1.4).

Для оценки ошибок показателей регрессии рассмотрим стандартные отклонения для показателя  () и для показателя  (). Для линейной парной регрессии имеем

     (2.2)

      (2.3)

 

3.Модель CAPM

Показатель  имеет тесную связь с активно используемой моделью CAPM (Capital Asset Pricing Model), но скорее с математической точки зрения. Рассмотрим общее уравнение однофакторной модели (1.1) для рынка акций. В качестве фактора F возьмем величину . Здесь  - безрисковая ставка на рынке. Перепишем 1.1 как

    (3.1)

Здесь  и  - показатели регрессии для модели (3.1). Будем считать относительные изменения величины  пренебрежимо малыми по сравнению с изменениями величины , т.е. в рамках модели предположим, что  постоянна. Тогда в силу свойств ковариации и дисперсии

и

получаем следующее тождество для  и :

Таким образом, оценка параметра  в модели линейной парной регрессии (1.2), предложенной Шарпом, соответствует регрессионному параметру  в модели CAPM.

Рассмотрим параметр . Основной постулат CAPM состоит в том, что в условиях эффективного рынка (т.е. при условии равного и мгновенного доступа всех участников к информации) параметр  равен . Доказательство этого утверждения можно найти в литературе. Таким образом, вместо (3.1) получаем

          (3.2)

Выражение (3.2) общеизвестно как рыночная линия ценной бумаги.

Иногда для оценки корректности модели CAPM полагают, что

и вычисляют  как

    (3.3)

В данном случае  можно трактовать как показатель недо- или переоценки рынком данного актива. Если  больше нуля, то бумага может быть рассмотрена, как переоцененная, если  меньше нуля, то как недооцененная. Важно помнить, что  (3.3) и  (1.5b) суть разные величины.

Оценка  из уравнения (3.3) вполне корректна, однако весьма проблематична в условиях российского рынка, поскольку всегда вызывает много споров выбор . Мы будем использовать подход определения , предложенный Шарпом и представленный в (1.5b)

Кроме того, важно помнить, что применение регрессионных показателей (1.5) для вычисления премии за риск по акциям для последующего дисконтирования денежного потока и вычисления стоимости фирмы является не вполне правильным подходом. Высокая Бета означает не повышенный уровень риска с точки зрения дисконтирования cash flow, а скорее повышенный интерес спекулянтов к данной бумаге, в результате чего увеличивается Бета и волатильность. Таким образом, показатели (1.5) могут представлять интерес в первую очередь для управления портфелем, нежели для фундаментального анализа.

 

4.Выбор параметров расчета

Значения регрессионных показателей  и  зависят от глубины расчета, т.е. от размера временного ряда значений доходностей рыночного индекса и рассматриваемой ценной бумаги. Мы брали две глубины расчета показателей – 1 год (длинные показатели) и 3 месяца (короткие показатели), при этом доходности рассчитывались исходя из средневзвешенных ежедневных цен. Если в течении дня сделок по конкретной бумаге заключено не было, то средневзвешенная цена рассчитывается как (min(best_bid)+max(best_ask))/2, где best_bid и best_ask – функции лучших котировок на покупку и продажу соответственно.

В качестве рыночных индексов были взяты индекс РТС (RTSI) и индекс RBC-Composite (RBCC).

Индекс РТС (RTSI) является средневзвешенным индексом, в расчете которого участвуют на момент написания 63 акции торговой системы. Листинг индекса можно найти на сайте РТС, например на http://www.rts.ru/statistics/rtsindex_list.htm. В качестве весов берется относительная капитализация соответствующей бумаги. Этот индекс является де-факто стандартом для российского рынка акций, однако у него есть и недостатки. Во-первых, в этот индекс входят только бумаги, котирующиеся в РТС, вследствие чего в силу известного постановления Президента акции Газпрома не участвуют в листинге индекса. Кроме того, этот индекс не является действительно онлайновым (рассчитывается только раз в полчаса), хотя это не критично для нашей задачи.

Индекс RBC-Composite (RBCC) является среднегеометрическим(!) индексом. Методику расчета этого индекса можно найти по адресу http://queen.rbc.ru/rbccomp/rbccomp_method.shtml.

В отличие от индекса РТС, расчет индекса РБК осуществляется в режиме реального времени, и при этом в качестве исходных данных берутся котировки, приходящие с трех торговых площадок. Листинг индекса РТС включает в себя только бумаги, торгуемые на данной торговой площадке, в то время как листинг индекса РБК включает в себя бумаги, торгуемые в различных торговых системах.

Для расчета листинга используется формула среднегеометрической капитализации рынка, поскольку именно такой метод усреднения позволяет получить более плавное изменение индекса во времени. Преимуществом этого метода является возможность сглаживания экстремальных точек функциональной зависимости индекса от времени, что особенно ценно во время кризисных явлений на рынке.

С другой стороны в отличие от индекса РТС индексу RBC-Composite в силу методики его расчета не соответствует конкретного рыночного портфеля (для индекса РТС это акции, входящие в листинг с соответствующими весами). В связи с этим обстоятельством расчет регрессионных показателей  и  относительно RBC-Composite не вполне корректен с точки зрения CAPM.